虛數(shù)單位“i”最早由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉所創(chuàng)，后來經(jīng)德國數(shù)學(xué)家高斯提倡才廣泛被使用。高斯首次引入術(shù)語“復(fù)數(shù)”，并記作a+bi。而“虛數(shù)”一詞則最早由笛卡爾提出。早在1800年，就有人用(a，b)點(diǎn)來表示a+bi，這些先驅(qū)者可能包括柯蒂斯、棣莫佛、歐拉以及范德蒙。將a+bi表示為向量的最早者是挪威人卡斯巴·魏塞爾，并且他給出了復(fù)數(shù)的向量運(yùn)算法則。符號“i”來源于法文imkgnaire，而不是英文的imaginarynumber或imaginaryquantity。復(fù)數(shù)集C則是源于英文complexnumber一詞的第一個(gè)字母。

圓周率“π”源于希臘文的“圓周”的第一個(gè)字母，由威廉·瓊斯在1706年首次采用，后經(jīng)歐拉提倡而通用。歐拉也是用“e”來表示自然對數(shù)的底的功臣，并且他證明了e是無理數(shù)的第一人。公式eiθ=cosθ+sinθ被稱為“歐拉公式”，而式子eiπ+1=0將i、π、e、1這四個(gè)最重要的常數(shù)聯(lián)系在一起，被認(rèn)為是一個(gè)奇跡。

在復(fù)數(shù)中，求導(dǎo)f(x)=i是一個(gè)常量，導(dǎo)數(shù)為0，而f(x)=ix的導(dǎo)數(shù)是i。i的平方是-1，i可以和實(shí)數(shù)進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算。這就是我們高中數(shù)學(xué)教材的定義。有的教材上定義i=√-1，但現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材不使用這種定義。

復(fù)函數(shù)是否可導(dǎo)的充要條件是其實(shí)部和虛部在特定點(diǎn)全微分存在并且滿足一定關(guān)系。如果一個(gè)函數(shù)在x0處左右導(dǎo)數(shù)分別存在且相等，則稱該函數(shù)在x=x0處可導(dǎo)。函數(shù)可導(dǎo)的條件是函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，并且在定義域中的一點(diǎn)可導(dǎo)需要一定的條件?？蓪?dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的的不一定可導(dǎo)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。復(fù)數(shù)i的絕對值為1。

在實(shí)數(shù)域上定義二元有序?qū)=(a,b)，并規(guī)定有序?qū)χg有加法和乘法運(yùn)算。容易驗(yàn)證，這樣定義的有序?qū)θw在有序?qū)Φ募臃ê统朔ㄏ滦纬梢粋€(gè)域，并且對任何復(fù)數(shù)z，都有z=(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)。記(0,1)=i，則根據(jù)我們定義的運(yùn)算，a+bi的形式就可以通過實(shí)數(shù)解決虛數(shù)單位i的存在問題。

形如a+bi的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位。我們將復(fù)數(shù)中的實(shí)數(shù)a稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部，實(shí)數(shù)b稱為復(fù)數(shù)的虛部。當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，z=bi，我們將其稱為純虛數(shù)。復(fù)數(shù)的 *** 用C表示，實(shí)數(shù)的 *** 用R表示，顯然R是C的真子集。復(fù)數(shù)集是無序集，不能建立大小順序。

關(guān)于復(fù)數(shù)的加法法則、乘法法則、除法法則、開方法則以及運(yùn)算律（包括加法交換律、乘法交換律、加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律和分配律），可以參照復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)定義和運(yùn)算規(guī)則來理解。i的乘方法則也是復(fù)數(shù)運(yùn)算中的重要規(guī)則之一。

值得注意的是，“I”的復(fù)數(shù)形式“We”是第一人稱的復(fù)數(shù)形式。在英文中，集體名詞以單數(shù)形式出現(xiàn)，但實(shí)為復(fù)數(shù)，例如people、police、cattle等。由一個(gè)詞加man或woman構(gòu)成的合成詞，其復(fù)數(shù)形式也是相應(yīng)的men和women。例如an Englishman的復(fù)數(shù)是two Englishmen。但需注意，某些詞匯的復(fù)數(shù)形式并不遵循這一規(guī)則，如German和Bowman。更多詳細(xì)信息可查閱百度百科關(guān)于復(fù)數(shù)名詞的解釋。