最小二乘函數(shù)為什么是凸函數(shù)（為什么叫最小二乘）
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最小二乘法線性回歸:矩陣視角
貝葉斯視角下的線性回歸則提供了另一種解讀，與極大似然估計(jì)或最小二乘法在特定條件下達(dá)成一致，但兩者對(duì)數(shù)據(jù)獨(dú)立性的要求不同。在實(shí)際應(yīng)用中，多項(xiàng)式回歸和 RESET 檢驗(yàn)展示了特征的高次冪如何影響模型。最后，最小二乘法與投影矩陣的巧妙聯(lián)系在于它們都追求誤差最小化，投影法為我們找到了最優(yōu)權(quán)重。
最小二乘法是一種常用的線性回歸分析方法，用于找到一條直線或曲線，以最小化實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合曲線之間的誤差。在此過程中，我們需要使用矩陣運(yùn)算來推導(dǎo)最小二乘法方程。假設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)有兩個(gè)變量x和y，我們希望找到一條直線y = mx + b，使得所有數(shù)據(jù)點(diǎn)到該直線的距離平方和最小。
在《最小二乘法線性回歸：矩陣視角》一文中，我們探討了高斯馬爾科夫定理證明了最小二乘法線性回歸（OLS）具有特別優(yōu)良的性質(zhì)。具體而言，當(dāng)誤差項(xiàng)均值為0時(shí)，OLS得到的估計(jì)無偏（unbiased），如果各誤差項(xiàng)方差相同，OLS得到的估計(jì)是最佳無偏線性估計(jì)（BLUE， best linear unbiased estimator）。
最小二乘法，這個(gè)看似簡潔的公式 θ = (XTX)^(-1) * XTy，在數(shù)據(jù)科學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)中扮演著關(guān)鍵角色。它就像一把精準(zhǔn)的尺子，測(cè)量線性模型與實(shí)際數(shù)據(jù)的契合度。首先，讓我們回到線性回歸的舞臺(tái)。當(dāng)我們?cè)噲D理解自變量X與因變量Y之間的關(guān)系時(shí)，最小二乘法就是我們的得力工具。
OLS (ordinary least squares)、GLS (generalized least squares)、FGLS (feasible generalized least squares) 和 WLS (weighted least squares) 都是線性回歸分析中常用的方法，它們的區(qū)別如下所述：OLS：最小二乘法，即以使得擬合值與觀測(cè)值的殘差平方和最小為目標(biāo)函數(shù)，得到最小二乘估計(jì)值。
梯度下降原理
1、梯度下降法的工作原理是利用函數(shù)在參數(shù)空間中的梯度（gradient）來決定搜索的方向。梯度是一個(gè)多變量函數(shù)在特定點(diǎn)的所有偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的向量，它指向函數(shù)增長最快的方向。因此，函數(shù)減少最快的方向是梯度的相反方向。具體步驟為： 初始化參數(shù)：首先，選擇一個(gè)函數(shù)的起始點(diǎn)，即參數(shù)的初始值。
2、基本原理是：通過不斷迭代調(diào)整參數(shù)來使得損失函數(shù)的值達(dá)到最小。每次迭代都會(huì)根據(jù)當(dāng)前的參數(shù)來計(jì)算損失函數(shù)的梯度，然后沿著梯度的反方向調(diào)整參數(shù)，使得損失函數(shù)的值變小。具體來說，每次迭代都會(huì)計(jì)算出當(dāng)前參數(shù)下?lián)p失函數(shù)對(duì)每個(gè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，這些偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成了損失函數(shù)的梯度。
3、梯度下降法的公式為：θ = θ - α * ▽?duì)菾 其中，θ是待求解的參數(shù)向量，α是學(xué)習(xí)率，一個(gè)正數(shù)，用于控制參數(shù)更新的步長；J是損失函數(shù)關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)，▽?duì)菾表示對(duì)J求導(dǎo)得到的梯度。接下來，我們將詳細(xì)介紹梯度下降法的原理和公式含義。梯度下降法是一種用于求解機(jī)器學(xué)習(xí)模型參數(shù)優(yōu)化的算法。
梯度下降法
1、梯度下降法是迭代法的一種，可以用于求解最小二乘問題（線性和非線性都可以）。在求解機(jī)器學(xué)習(xí)算法的模型參數(shù)，即無約束優(yōu)化問題時(shí)，梯度下降是最常采用的方法之一，在求解損失函數(shù)的最小值時(shí)，可以通過梯度下降法來一步步的迭代求解，得到最小化的損失函數(shù)和模型參數(shù)值。
2、梯度下降法的公式為：θ = θ - α * ▽?duì)菾 其中，θ是待求解的參數(shù)向量，α是學(xué)習(xí)率，一個(gè)正數(shù)，用于控制參數(shù)更新的步長；J是損失函數(shù)關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)，▽?duì)菾表示對(duì)J求導(dǎo)得到的梯度。接下來，我們將詳細(xì)介紹梯度下降法的原理和公式含義。梯度下降法是一種用于求解機(jī)器學(xué)習(xí)模型參數(shù)優(yōu)化的算法。
3、梯度下降法（Gradient Descent）是一種常用的優(yōu)化算法，目的是最小化一個(gè)函數(shù)，尤其是在機(jī)器學(xué)習(xí)與深度學(xué)習(xí)中，用于最小化損失函數(shù)，來尋找模型參數(shù)的最優(yōu)解。目的：其主要目的是找到函數(shù)的局部或全局極小值。
凸 *** 是什么意思啊?
1、凸 *** 是指 *** 中任意兩點(diǎn)之間的連線都在該 *** 內(nèi)的非空 *** 。直觀上，可以將其理解為圖形中任意兩點(diǎn)的線段都完全落在圖形內(nèi)部。凸 *** 在數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用，例如凸優(yōu)化、計(jì)算幾何、機(jī)器學(xué)習(xí)等。
2、聯(lián)合凸函數(shù)是指具有凸性質(zhì)的多元函數(shù)，它的定義域是一個(gè)凸 *** ，且對(duì)于任意兩個(gè)點(diǎn)的線性組合，函數(shù)值都小于等于這兩個(gè)點(diǎn)在函數(shù)上的線性組合。這種函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，比如局部最小值就是全局最小值。
機(jī)器學(xué)習(xí):統(tǒng)計(jì)回歸模型-線性回歸
機(jī)器學(xué)習(xí)中的統(tǒng)計(jì)回歸模型，特別是線性回歸，是廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)技術(shù)之一，它通過最小二乘法建立自變量和因變量之間的線性關(guān)系。線性回歸的擴(kuò)展形式包括多項(xiàng)式曲線擬合，能處理更復(fù)雜的非線性關(guān)系，這些方法都屬于有監(jiān)督學(xué)習(xí)方法。
探索機(jī)器學(xué)習(xí)世界的基石，線性模型猶如一座橋梁，連接理論與實(shí)踐。深入理解，首先從基本的線性回歸說起，它像一個(gè)精密的尺子，通過最小化均方誤差，優(yōu)雅地測(cè)量屬性間的關(guān)聯(lián)。單變量的單元線性回歸輕而易舉，而多元線性回歸則將這一原理擴(kuò)展到多元世界的復(fù)雜性中。
機(jī)器學(xué)習(xí)是通過模擬人類學(xué)習(xí)過程，通過數(shù)據(jù)和模型優(yōu)化進(jìn)行預(yù)測(cè)和決策的數(shù)學(xué)模型技術(shù)。主要分為有監(jiān)督學(xué)習(xí)和無監(jiān)督學(xué)習(xí)，前者如分類和回歸，后者則包括聚類和降維。有監(jiān)督學(xué)習(xí)利用帶標(biāo)簽的數(shù)據(jù)建立模型，無監(jiān)督學(xué)習(xí)則無標(biāo)簽數(shù)據(jù)自我組織。半監(jiān)督學(xué)習(xí)則在標(biāo)簽不完整時(shí)使用。
Wrapper Methods是一種特征選擇的方法，它通過在特征子集上訓(xùn)練模型并根據(jù)模型性能來評(píng)估特征的重要性。與過濾方法不同，Wrapper Methods使用機(jī)器學(xué)習(xí)模型本身的性能來評(píng)估特征的貢獻(xiàn)。特征選擇的過濾方法是基于統(tǒng)計(jì)而不是基于模型的方法。
sklearn提供參數(shù)詳解與實(shí)戰(zhàn)示例。線性回歸模型通過fit_intercept、normalize與n_jobs參數(shù)配置?？捎脤傩园╟oef_與intercept_，方法有fit、get_params與predict等。通過sklearn庫，使用線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到估計(jì)參數(shù)值、R2值與預(yù)測(cè)值。線性回歸是機(jī)器學(xué)習(xí)中的基本方法，廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析與預(yù)測(cè)。
機(jī)器學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)工具——線性回歸，是研究輸入變量與輸出變量之間線性關(guān)系的重要算法。它通過建立線性方程來描述兩者之間的關(guān)系，主要涉及的概念包括：回歸模型的核心是找到輸入與輸出的最佳線性關(guān)系。線性回歸的核心是損失函數(shù)，如均方誤差（MSE），它衡量預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差距。MSE越小，模型性能越好。
